رضا و احمد دستگاه عجيبی برای کار کردن با اعداد درست کرده اند. اين دستگاه يک ورودی و يک خروجی و 10 کليد اصلی دارد. کليد ها از" الف" تا " د" نام گذاری شده اند. با فشار دادن هر کليد، دستگاه عمليات متفاوتی روی اعداد انجام می دهد. در مرحله اول آزمايش ، رضا دستگاه را روشن می کنند و کليد الف را فشار می دهد. احمد اعداد صفر تا 5 را يکی يکی به دستگاه وارد می کند. آن گاه به ترتيب اعداد 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 و 15 از دستگاه خارج می شوند( جدول الف-1). |  |
جدول الف- 1 ورودی | خروجی | 0 | 10 | 1 | 11 | 2 | 12 | 3 | 13 | 4 | 14 | 5 | 15 |
پرسش 1. اگر کليد الف را بزنيم و مطابق جدول الف-2 اعداد 6 ، 7 ، 8 و 9 را به دستگاه وارد کنيم ، چه اعدادی از دستگاه خارج می شوند؟ چرا؟ جدول الف- 2 ورودی | خروجی | 6 | ..... | 7 | ..... | 8 | ..... | 9 | ..... |
در مرحله دوم آزمايش، احمد کليد ب را فشار می دهد و رضا اعداد 1 ، 3 ، 5 ، 7 و 9 را به دستگاه وارد می کند. آن گاه به ترتيب اعداد 2 ، 6 ، 10 ، 14 و 18 از دستگاه خارج می شوند(جدول ب-1 ) . جدول ب- 1 ورودی | خروجی | 1 | 2 | 3 | 6 | 5 | 10 | 7 | 14 | 9 | 18 |
پرسش 2. اگر کليد ب را بزنيم و مطابق جدول ب-2 اعداد صفر، 2 ، 4 ، 6 و 8 را به دستگاه وارد کنيم، چه اعدادی از دستگاه خارج می شوند؟ چرا؟ جدول ب- 2 ورودی | خروجی | 0 | ..... | 2 | ..... | 4 | ..... | 6 | ..... | 8 | ..... |
در مرحله سوم آزمايش، رضا کليد پ را فشار می دهد و احمد اعداد صفر، 2 ، 4 ، 6 و 8 را به دستگاه وارد می کند. آن گاه به ترتيب اعداد صفر، 5 ، 9 ، 13 و 17 از دستگاه خارج می شوند( جدول پ-1). جدول پ- 1 ورودی | خروجی | 0 | 0 | 2 | 5 | 4 | 9 | 6 | 13 | 8 | 17 |
پرسش 3. اگر کليد پ را بزنيم و مطابق جدول پ-2 اعداد 1 ، 3 ، 5 ، 7 و 9 را به دستگاه وارد کنيم، چه اعدادی از دستگاه خارج می شوند؟ چرا؟ جدول پ- 2 ورودی | خروجی | 1 | ..... | 3 | ..... | 5 | ..... | 7 | ..... | 9 | ..... |
بياييد بار ديگر جدول های الف ، ب و پ را بررسی کنيم و با يکی از مفاهيم اساسی رياضی يعنی تابع آشنا شويم. در جدول الف-1، ب-1 و پ-1 در برابر هر عدد ورودی فقط يک عدد خروجی داريم. به عبارت ديگر، در ستون ورودی جدول ها عددی را پيدا نمی کنيم که به ازای آن دو عدد خروجی داشته باشم. برای مثال در جدول الف-1 در برابر عدد 1 فقط عدد 10 وجود دارد و اگر صد بار ديگر عدد 1 را به دستگاه وارد کنيم باز هم عدد خروجی 10 خواهد بود. اين نوع رابطه را در رياضی تابع می ناميم. اما اگر در جدول الف-1 به ازای ورود عدد 4 به دستگاه ، اعداد 14 و 16 از دستگاه خارج می شد، آن گاه جدول الف-1 رابطه ای از نوع تابع را نشان نمی داد. حال آن که اگر به ازای تکرار عدد 4 در دو جای مختلف جدول عدد 14 دو بار از دستگاه خارج می شد، جدول الف-1 رابطه ای از نوع تابع را نشان می داد. پرسش 4. با آوردن مثال هايی از جدول های ب و پ نشان دهيد اين جدول ها در چه صورت رابطه ای از نوع تابع را نشان نمی دادند. اکنون بياييد با مفهوم تابع بيشتر آشنا شويم. 1. مفهوم مجموعه ای تابع: هر تابع از دوتايی های مرتبی( ورودی ها و خروجی ها) تشکيل شده است که عضو های اول(ورودی ها) آن تکراری نباشد و اگر تکراری باشد، عضو های دوم(خروجی ها) نظير آن عضو نيز تکراری باشد. برای مثال، { (5 و 3) ، (4 و 2) ، (3 و 1) }= A يک تابع است. و { (4 و 2) ، (9 و 3) ، (4 و 2) ، (1 و 1) }= B نيز يک تابع است. اما { (6 و 4) ، (5 و 6) ، (4 و 5) ، (3 و 4) }= C تابع نيست زيرا در دو زوج مرتب (6 و 4) و (3 و 4) عضو های اول( عدد4 ) تکرار شده اما عضوهای دوم( عددهای 3و 6 ) متفاوت اند. 2. مفهوم هندسی تابع: نموداری را می توان نمودار تابع دانست که هر خط دلخواهی که موازی محور y رسم شود، آن نمودار را در بيش از يک نقطع قطع نکند. برای مثال نمودار زير يک تابع است، زيرا هرخطی که موازی محور y رسم شود آن را حداکثر در يک نقطه قطع می کند. 
پرسش 5. آيا نمودار زير رابطه ای از نوع تابع را نشان می دهد؟ چرا؟ 
3 مفهوم رابطه ای تابع: مجموعه ای مانند ƒ (شامل زوج های مرتب) را تابع گوييم، اگر داشته باشيم: ( x 1 , y 1 ) Є ƒ و ( x 1 , y 2 ) Є ƒ آن گاه y 1 = y 2 يعنی اگر مولفه های اول دو زوج مرتب ( x 1 , y 1 ) و ( x 1 , y 2 ) با هم برابر باشند، مولفه های دوم آن ها نيز با هم برابر اند. برای مثال، رابطهx) = 2x2 ) ƒ نوعی تابع را نشان می دهد. زيرا: اگر ƒ Є(x1 , y1) در صورتی که ƒ Є(x1 , y2) آن گاه می توان نوشت: x1) = y 2) ƒ و x1) = y 1) ƒ در نتيجه: y 2 = 2x 1 2 و y 1 = 2x 1 2 و بنابر اين : y 1 = y 2 پس، برای دو مولفه اول مساوی، x 2 = x 1 ، مولفه های دوم مساوی، y 1 = y 2 ، وجود دارد و با رابطه ای از نوع تابع رو به رو هستيم. اما رابطه 2y2 = -2x2 + 9 ، تابع نيست، زيرا: ƒ " 2 y12 = -2x12 + 9 " y12 = ( 9 - 2x12 )/2 Є(x1 , y1) ƒ " 2 y22 = -2x12 + 9 " y22 = ( 9 - 2x12 )/2 Є(x1 , y2) y1 =± y2 يا y12 = y22 بنابر اين ، نمی توان نتيجه گرفت که y 1 با y 2 برابر است و با رابطه ای از نوع تابع رو به رو نيستيم. کار در منزل 1. کدام يک از مجموعه های زير تابع است؟ چرا؟ {(4 و 4) ، (6 و 3) ، (5 و 2) ، (4 و 1) ، (6 و 0) ، (5 و 0) }= A { (1 و 6) ، (4 و0) ، (0 و 0) }= B { (c و a) ، (c و b) ، (b و a) }= C { (0 و 2) ، (0 و 1) ، (1 و 0) }= D { (a و c) ، (c و b) ، (b و a) }= E 2. کدام يک از نمودارهای زير نمودار يک تابع را نشان می دهد؟ چرا؟ 3. کدام يک از رابطه های زير نوعی تابع است؟ چرا؟ A) x 2 + y 2 = 1 B) ƒ(x) = x 2 (در مجموعه اعداد حقيقی) C) ƒ(x) =2x -1 ( در مجموعه اعداد طبيعی) D) ƒ(x) = x 3 + 3x 2 + 3x (در مجموعه اعداد حقيقی) | 
